Задачи по теме «Призма».

1.

В параллелепипеде диагонали основания рав­ны, а боковое ребро перпендикулярно двум смеж­ным сторонам основания. Докажите, что паралле­лепипед прямоугольный.

Доказательство. В основании - параллелограмм с равными диагоналями, т.е. прямоугольник, а бо­ковое ребро перпендикулярно основанию по при­знаку перпендикулярности прямой и плоскости.

2.

Докажите, что число ребер призмы кратно 3.

Доказательство. В n-угольной призме боковых ребер n, а ребер нижнего и верхнего оснований 2n, всего 3n ребер.

3.

Докажите, что сумма двугранных углов при всех боковых ребрах четырехугольной призмы рав­на 360".

Доказательство. Рассмотрим перпендикулярное сечение призмы. В сечении - четырехугольник, сумма его углов S = 180°(4 - 2) = 360°.

4.

Если призма имеет 18 граней, то в ее основа­нии лежит 16-угольник. Докажите.

Доказательство. У призмы две грани оснований и, значит, боковых граней 16. Следовательно, в основании 16-угольник.

5

. В кубе из вершины N проведены диагонали граней NE, NF, NK Концы их соединены отрез­ками (рис. 4.7). Докажите, что многогранник NEFK­ - правильный тетраэдр.

6.

Если две боковые грани треугольной призмы взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов их площадей равна квадрату площади третьей боко­вой грани (рис. 4.8). Докажите.

7.

Докажите, что сечение параллелепипеда пло­скостью не может быть правильным пятиугольни­ком.

Доказательство. Среди сторон многоугольника в сечении параллелепипеда плоскостью найдутся параллельные, а у правильного пятиугольника ни­какие две стороны не параллельны.

4)Задачи на построение

Сечения можно рисовать на заранее подготов­ленном изображении призмы.

1.

Постройте сечение куба в виде: а) треугольни­ка, б) четырехугольника, в) пятиугольника, г) ше­стиугольника.

2

. Постройте плоскость, проходящую через сто­рону нижнего основания треугольной призмы. Ка­кие многоугольники получаются в сечении приз­мы при вращении этой плоскости вокруг стороны?

Ответ: сечение может иметь форму

треугольника, трапеции.

3.

В правильной треугольной призме плоскость сечения ВСМ образует с плоскостью основания двугранный угол α (рис. 4.9). Постройте линейный угол этого двугранного угла. Дайте объяснения.

Построение. Проведем из вершины A правиль­ного треугольника АВС высоту АК. Точка K принадлежит ребру ВС. Соответственно отрезок МК перпендикулярен ребру ВС. Угол МКА­ - искомый.

4.

В основании прямой призмы (рис. 4.10) лежит равнобедренная трапеция. Сечение ABC1D1 обра­зует с плоскостью основания двугранный угол α. Постройте его линейный угол.

Построение. Это угол между высотами трапеций ABCD и ABC1D1 проведенными из их общей вер­шины тупого угла. (Используем теорему о трех пер­пендикулярах.)

5.

Сечение BCD1A1 прямоугольного параллеле­пипеда (рис. 4.11) образует с плоскостью основания двугранный угол β. Как построить его линейный угол? Построение. Следует использовать теорему о трех перпендикулярах. Искомый угол - это угол между диагональю А1В (или D1C) .боковой грани и стороной основания АВ (или CD), лежащей в этой грани.

4.2 Задачи по теме «Пирамида».

1)Задачи на вычисление

1.

В правильной четырехугольной пирамиде вы­сота составляет с боковой гранью угол, равный 37°. Найдите угол между апофемами противоположных боковых граней.

Ответ: 74°.

2.

Боковое ребро правильной пирамиды вдвое больше ее высоты. Определите угол наклона боко­вого ребра к плоскости основания.

Ответ: 30°.

3.

Периметр основания пирамиды равен 20 см, а площадь ее основания 16 см2. Найдите периметр и площадь сечения пирамиды, проведенного парал­лельно основанию через середину бокового ребра.